Die Rechtschreibprüfung des Browsers unterbindet SoSci Survey standardmäßig. Das können Sie unter Fragebogen zusammenstellen im Karteireiter "Einstellungen" ändern. Suchen Sie dort nach der Option "Rechtschreibprüfung des Browsers für offene Texteingaben zulassen".
Allerdings hängt es vom Browser ab, ob und welche Rechtschreibprüfung zur Verfügung steht.
Für alles Weitere müssen Sie auf entsprechende Dienstleister zurückgreifen. Es gibt von Grammarly beispielsweise eine JavaScript-API, die Sie anbinden können. Inwiefern es solche Cloud-Dienstleistungen auch für deutschsprachige Texte gibt, kann ich nicht sagen.
Die Anbindung wird alledings zumindest grundlegende Javascript-Kenntnisse erfordern, vgl. Grammarly Text Editor SDK for JavaScript