Eine Aufnahme des Bildschirms werden Sie aus einer Website heraus nicht ohne weiteres realisieren können... IT-Sicherheit und Datenschutz und so...
Wenn Sie keine Angst vor JavaScript (oder jemanden an der Hand) haben, dann können Sie zumindest unter Chrome, Edge und Firefox über die Screen Capture API eine Bildschirmaufzeichnung versuchen.
Mit dem Fragetyp "Datei-Inhalte übertragen" können Sie dann - ähnlich wie in der Audio-Recorder-Vorlage - das Ganze als Video an den Server übermitteln. Beachten Sie aber bitte, dass dabei recht große Dateien entstehen können. Ich könnte mir vorstellen, dass das sowohl während der Aufzeichnung als auch bei der Übertragung (Wartezeit), als auch beim Speichern (verfügbarer Spreicherplatz) Probleme machen könnte.
Sie sollten also über einen eigenen Befragungsserver (z.B. via Hochschullizenz) nachdenken und einiges an Zeit zum Entwickeln und Testen vorsehen.