Nein, Browser blockieren es in aller Regel, dass eine Website nach dem Schließen des Fensters noch irgend etwas macht. Das führte in der Vergangeheit zu sehr lästigen Werbe-PopUps.
Was man machen kann ist folgendes: Man kann einen zweiten Fragebogen im Projekt anlegen - und auf der ersten Seite des zweiten Fragebogens (mit dem man dann beginnt) wird per JavaScript der eigentliche Fragebogen als neues Fenster aufgerufen/gestartet. Der neue Fragebogen bleibt dann als Fenster bzw. Tab im Hintergrund.
Wenn man das eigentlichen Fragebogen schließt, ist der "alte" noch sichtbar und kann nach den Gründen für den Abbruch fragen. Allerdings muss man noch mittels JavScript dafür sorgen, dass dieser Fragebogen geschlossen wird, wenn man den eigentlichen Fragebogen korrekt abschließt.